Équations différentielles stochastiques.
Le but de ce cours est d'une part introduire la notion de processus stochastique, de mouvement brownien et d'entrer dans la définition de ce que l'on appelle une équation différentielle stochastique et plus généralement d'une équation aux dérivées partielles stochastique. D'autre part, nous donnerons les moyens de manipuler ces équations pour en extraire des informations qualitatives et aussi pour en faire des simulations. Toutes les notions seront illustrées par des exemples.
cours 1 - Préliminaires
1- Pourquoi introduire de l'aléatoire ? Différents exemples.
2- Donner du sens à l'aléatoire - rapide rappels de probabilités
3- Le mouvement Brownien et ses propriétés
cours 2 - équations différentielles stochastiques
partie 1 - Le point de vue d'Itô
1- comment donner un sens à une équations différentielles stochastiques ? Les différentes stratégies.
2- le point de vue d'Itô et l'intégrale stochastique d'Itô
3- la formule d'Itô pour la composition
4- la formule d'Itô pour le produit
5- La notion d'équation différentielle stochastique d'Itô
partie 2 - Le point de vue de Stratonovich
1- Un autre choix de d'intégrale stochastique: Stratonovich
2- Les formules de composition et produit dans le cas Stratonovich
3- Quelle relation entre Stratonovich et Ito ? Le théorème de Wong-Zakai
4- Comment choisir ?
cours 3 - Sur les solutions des équations différentielles stochastiques
1- Les équations différentielles stochastiques linéaires
2- Théorème d'existence et d'unicité
3 - Point d'équilibre et notion de stabilité
4- Invariance d'un domaine
cours 4 - Les systèmes hamiltoniens stochastiques
1- Les systèmes hamiltoniens stochastiques de J-M. Bismut
2- Le calcul des variations stochastiques
3- Le théorème de Noether stochastique
4- La friction comme effet stochastique
cours 5 - Simulation des équations différentielles stochastiques
1- Principe des intégrateurs numériques
2- La méthode d'Euler-Murayama pour Itô
3- La méthode de Heun
4- Méthodes préservant des propriétés: positivité, invariance, symplectique
Chaque cours comportera de nombreux exemples et des exercices que nous pourrons discuter et qui seront corrigés en détails.
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Olivier Le Maître
Méthodes pour la Quantification et Propagation d’Incertitudes dans les Simulations Numériques.
Cours 1 (1h30) Introduction à la quantification et propagation des incertitudes en simulation.
Ce premier cours discutera des différentes sources d’erreur de prédiction en simulation, pour ensuite se concentrer sur la problématique des incertitudes paramétriques.
Cours 2 (1h30) Méthodes spectrales non-intrusives pour la propagation des incertitudes.
Le deuxième cours portera sur les représentations spectrales (Polynômes de Chaos, Multi-Ondelettes stochastiques) pour la propagation des incertitudes dans les modèles numériques. On présentera ensuite plusieurs approches non-intrusives (ne nécessitant pas d’adaptation des codes de calcul) pour la détermination de ces représentations : projection non-intrusives, régressions, grilles creuses, …
Cours 3 (1h30) Méthode de Galerkin pour les EDOs / EDPs à paramètres incertains.
Le troisième cours portera sur l’approche de Galerkin pour la propagation d’incertitudes dans les modèles. On détaillera le cas de l’équation elliptique à coefficient incertain. La résolution pratique des systèmes d’équations résultant de la projection de Galerkin et le traitement des non-linéarités seront discutés.
Cours 4 (1h30) Réduction de modèle et Décomposition de domaine pour la quantification d’incertitudes.
Le quatrième cours concernera les problématiques de réduction de modèle avec la notamment la Décomposition Propre Généralisée (PGD) et les approches de décomposition de domaine pour les EDPs stochastiques, en se concentrant sur le cas des équations elliptiques.
Cours 5 (1h30) Inférence bayésiennes et problèmes inverses.
Le cinquième cours concernera l’inférence bayésienne (IB) dont le principe sera tout d’abord introduit. On discutera ensuite de l’accélération de l’IB pour l’utilisation de modèles substitution et de son application à la modélisation par processus Gaussien.
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Tony Lelièvre
Simulation moléculaire : modèles, calcul d'énergie libre et aspects dynamiques.
L'objectif de ce cours sera de présenter quelques aspects de la physique statistique computationnelle, qui consiste à calculer des propriétés macroscopiques des matériaux à partir d'une description microscopique. On peut par exemple penser à l'étude des mécanismes de propagation de défaut dans des réseaux cristallins, de la diffusion d'adatomes sur des surfaces, ou des changements conformationnels de clusters atomiques. Nous discuterons en particulier deux problèmes numériques: le calcul de quantités thermodynamiques, et l'évaluation de quantités dynamiques. Les quantités thermodynamiques sont des moyennes d'observables par rapport à une mesure de probabilité définie par l'ensemble thermodynamique qui décrit l'état du système. Par exemple, l'énergie libre est une quantité thermodynamique importante à calculer en pratique, et nous décrirons différentes méthodes permettant de l'évaluer: intégration thermodynamique, méthode de biaisage adaptative, relation de Crooks-Jarzynski. Contrairement aux quantités thermodynamiques qui sont définies en fonction d'une mesure de probabilité sur l'espace des configurations, les quantités dynamiques dépendent, comme leur nom l'indique, de la dynamique du système. On peut par exemple chercher à simuler un chemin de transition entre deux conformations moléculaires, pour comprendre un mécanisme réactionnel (comme le mouvement d'un défaut entre deux positions métastables). Dans ce cas, les équations décrivant l'évolution temporelle du système moléculaire sont fondamentales, et nous discuterons en particulier les équations de Langevin, et les modèles de types kinetic Monte Carlo. Dans les deux cas (quantités thermodynamiques ou dynamiques), les algorithmes naïfs ne permettent bien souvent pas d'obtenir des résultats convergés pour deux raisons: les échelles de temps et d'espace. En effet, pour observer les phénomènes intéressants à l'échelle macroscopique (comme le mouvement d'un défaut) il faut simuler des très gros systèmes (beaucoup d'atomes) sur des temps très longs (le pas de temps à l'échelle moléculaire est la femtoseconde, et les échelles de temps macroscopiques varient de la microseconde à la seconde, voire plus). D'un point de vue algorithmique, ce cours permettra donc de discuter comment contourner les difficultés associées à ces différences d'échelle entre les mondes atomiques et macroscopiques (méthodes d'échantillonnage de mesures multimodales, algorithmes de dynamiques accélérées, simulations d'évènements rares).
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Régis Cottereau
Mécanique des milieux hétérogènes désordonnés: homogénéisation stochastique et propagation d’ondes en milieux aléatoires.
Résumé
De nombreux matériaux comportent des hétérogénéités à des échelles petites devant la taille des échantillons considérés en pratique et devant l’échelle de fluctuation des sollicitations qui leur sont appliquées. C’est le cas en génie civil par exemple, où les propriétés du sol fluctuent à des échelles beaucoup plus petites que les bâtiments qui le chargent, et où le sable et les graviers composant le béton sont beaucoup plus petits que les poutres et murs qu’il compose. C’est également le cas à des échelles plus petites, par exemple en mécanique de l’os ou de la dentine, où des canaux structurent sur plusieurs échelles les matériaux. L’hypothèse de périodicité des hétérogénéités est un outil de modélisation puissant et bien connu qui permet d’obtenir de nombreux résultats d’homogénéisation, mais n’est que rarement adapté pour représenter de manière réaliste les matériaux rencontrés dans la pratique, en particulier les matériaux naturels. La modélisation probabiliste et l’homogénéisation stochastique apparaissent pour ces matériaux comme des alternatives intéressantes qui seront présentées en détail dans le cours. Après une première partie sur le cas elliptique (élasticité linéaire statique), le cours se penchera sur les changements d’échelles dans le cas hyperbolique (équation d’onde élastique). Dans ce cas, la longueur d’onde complète la taille de l’échantillon (distance source-récepteur) et l’échelle de fluctuation des hétérogénéités comme dimension caractéristique du problème, et une large zoologie de régime de changement d’échelles apparait. Ce cours présentera une introduction générale sur les différents régimes étudiés, à partir d’observations expérimentales et d’expériences numériques, puis développera l’analyse théorique dans le cas d’un milieu stratifié horizontalement et pour le régimes de transfert radiatif. Enfin, si le temps le permet, certains résultats théoriques obtenus pour le régime de localisation d’Anderson seront présentés.
Plan
1- Modèles de milieux aléatoires et homogénéisation stochastique pour des équations elliptiques (1h30)
2- Panorama des différents régimes de changement d’échelle pour la propagation d’onde en milieu aléatoire (observations expérimentales, observations numériques, analyse) (1h30)
3- Propagation d’ondes dans un milieu aléatoire stratifié horizontalement (1h30)
4- Transfert radiatif et diffusion pour la propagation à grande distance (1h30)
5- Localisation d’Anderson dans les milieux fortement hétérogènes (1h30)
Bibliographie
G. C. Papanicolaou and S. R. S. Varadhan. Boundary value problems with rapidly oscillating random coefficients. In J. Fritz and J. L. Lebowitz, editors, Proceedings of the Conference on Random Fields, volume 2 of Seria Colloquia Mathematica Societatis Janos Bolyai, pages 835–873. North Holland, 1981.
J.-P. Fouque, J. Garnier, G. Papanicolaou, and K. Solna. Wave propagation and time reversal in randomly layered media, volume 56 of Stochastic Modelling and Applied Probability. Springer, 2007.
L. Ryzhik, G. Papanicolaou, and J. B. Keller. Transport equations for elastic and other waves in random media. Wave Motion, 24:327–370, 1996. doi: 10.1016/S0165-2125(96)00021-2.
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Programme
L'arrivée des participants est prévu dimanche le 6 septembre vers le coctail de bienvenue et le dîner.
Le dernier cours aura lieu samedi le 12 septembre avant le déjeuner.
Lundi 7 sept. 2020
09h00-10h30 : Jacky Cresson
11h00-12h30 : Jacky Cresson
12h30 : Déjeuner
16h00-17h30 : Tony Lelièvre
17h45-19h15 : Olivier Le Maître
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Jeudi 10 sept. 2020
09h00-10h30 : Olivier Le Maître
11h00-12h30 : Olivier Le Maître
12h30 : Déjeuner
16h00-17h30 : Régis Cottereau
17h45-19h15 : Tony Lelièvre
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Mardi 8 sept. 2020
09h00-10h30 : Jacky Cresson
11h00-12h30 : Tony Lelièvre
12h30 : Déjeuner
16h00-17h30 : Olivier Le Maître
17h45-19h15 : Régis Cottereau
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Vendredi 11 sept. 2020
09h00-10h30 : Tony Lelièvre
11h00-12h30 : Régis Cottereau
12h30 : Déjeuner
16h00-17h30 : Jacky Cresson
17h45-19h15 : Régis Cottereau
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Mercredi 9 sept. 2020
09h00-10h30 : Olivier Le Maître
11h00-12h30 : Tony Lelièvre
12h30 : Déjeuner
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Samedi 12 sept. 2020
09h00-10h30 : Jacky Cresson
11h00-12h30 : Régis Cottereau
12h30 : Déjeuner
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